Тапочки не нужны. В конце мая - начале июня бывает сезон дождей и гроз. Но купаться можно. А к середине июня - точно можно. Мы пять лет подряд приезжали в Мармарис числа 5-10 июня на 10 дней. И всегда спокойно купались. Конечно, Эгейское море прохладнее, чем Средиземное море (район Анталии), но купаться точно можно.
Нижний Новгород